Grenzrate Der Substitution Interpretation Beispiel Essay

Da die Grenzrate der Substitution uns noch mehrmals begegnen wird, wollen wir hier etwas genauer auf sie eingehen. Dazu füllen wir das Ganze mit etwas Leben. Die GRS ist definiert als die Steigung der Indifferenzkurve.

Hier klicken zum Ausklappen Folgende zwei Steigungen sollen im Beispiel angenommen werden:
Steigung 1: -5
Steigung 2: -2/3

Mathematisch bestimmt sich die Steigung einer Kurve aus Δy/Δx. In unserem Fall, wo wir für die Achsenbeschriftung $\ x_1 $ bzw. $\ x_2 $ verwenden, ergibt sich die Steigung aus $\ Δx_2 \over Δx_1 $.

Die erste Steigung können wir auch so notieren: $\ {Δx_2 \over Δx_1} = {-5 \over 1} $. Dies erleichtert uns die Interpretation.
Der Konsument ist in diesem Beispiel bereit 5 Einheiten von Gut 2 aufzugeben, um eine Einheit von Gut 1 zu erhalten. Führt er diesen Tausch durch, so bleibt er auf derselben Indifferenzkurve.
Außerdem können wir davon ausgehen, dass er sehr viele Einheiten von Gut 2 hat, aber nur wenige von Gut 1. Deshalb ist er bereit viel von 2 einzutauschen gegen 1.

Anders sieht das bei Beispiel 2 aus: $\ {Δx_2 \over Δx_1} = {-2 \over 3} $. Hier würde der Konsument nur 2 Einheiten von Gut 2 gegen 3 Einheiten von Gut 1 eintauschen. Das Verhältnis hier hat sich gewandelt. Hier will der Konsument mehr von Gut 1 als Kompensation für die Aufgabe von Gut 2 erhalten.

Diese Veränderung zwischen Steigung 1 und Steigung 2, ergibt sich aus dem fallenden Verlauf der Grenzrate der Substitution. Hat ein Konsument sehr viel eines Gutes, dann ist er eher bereit mehr davon abzugeben, um das knappere Gut zu erhalten, als wenn er nur wenig davon besitzt. Der Wert eines Gutes ändert sich damit je nachdem, wieviele Einheiten der Konsument besitzt.

Zwei unterschiedliche Wege die Grenzrate der Substitution zu bestimmen zeigt das folgende Video.

Lernvideo - Bestimmung der Grenzrate der Substitution

Video: Zahlenbeispiel zur Grenzrate der Substitution

Als Grenzrate der Substitution (Abkürzung: GRS; Englisch: marginal rate of substitution,MRS) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre bei einer Zwei-Güter-Betrachtung den Absolutbetrag der Steigung einer Indifferenzkurve. Namensgebend ist die Eigenschaft der GRS, für jeden Punkt auf der Indifferenzkurve anzugeben, in welchem Austauschverhältnis der Haushalt bereit wäre, das zweite Gut gegen das erste auszutauschen (= zu substituieren).

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Beispiel wird an dieser Stelle anhand der nebenstehenden Grafik skizziert. Auf einer Indifferenzkurve liegen nach Definition sämtliche Güterkombinationen aus Gut 1 (-Einheiten) und Gut 2 (-Einheiten), die ein identisches Nutzenniveau stiften.

Betrachtet man nun den Punkt in der Graphik, so entspricht dieser einer konkreten Mengenkombination aus Einheiten von Gut 1 und Einheiten von Gut 2. Man stelle sich vor, dass einem Konsumenten von Gut 1 eine kleine Menge weggenommen wird. Zur Kompensation erhält er . Wie man sich anhand der Darstellung klarmachen kann, befindet sich der Konsument nach diesem Austausch bei hinreichend kleiner Wahl von nach wie vor (approximativ) auf derselben Indifferenzkurve, das heißt der Tausch von -Einheiten Gut 1 gegen -Einheiten Gut 2 stellt er (approximativ) gleich. Das Austauschverhältnis beträgt und für handelt es sich hierbei gerade um die (absolute) Steigung der Indifferenzkurve.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition der Grenzrate der Substitution von Gut 1 bezüglich Gut 2 lautet

mit der Funktion der Indifferenzkurve.[1] In einem bestimmten Punkt auf der Indifferenzkurve gilt nach den Gesetzen über die Zusammenhänge trigonometrischer Funktionen in einem rechtwinkligen Dreieck äquivalenterweise auch

mit dem Winkel zwischen der Tangente zur Indifferenzkurve im betrachteten Punkt und der Abszisse (siehe nebenstehendes graphisches Beispiel).[2]

Zusammenhang mit der Nutzenfunktion und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

.

Das heißt die GRS entspricht dem Verhältnis der Grenznutzen:

Dies kann man wie folgt zeigen: Betrachte für ein festes Güterbündel , welches den Nutzen stiftet, die Menge aller Güterbündel, bezüglich deren wir hinsichtlich indifferent sind. Dann lässt sich als die Kurve auffassen. Diese ist streng monoton fallend in dem Sinne, dass

.

Wir können die Gleichung also stets auflösen, d.h. wir finden ein , so dass (siehe auch Satz von der impliziten Funktion). Somit gilt die einfachere Schreibweise

Bilden wir nun die Ableitung der Funktion , so erhalten wir mittels Kettenregel (wenn man wieder die Schreibweise verwendet):

.

Man beachte, dass die Ableitung einer konstanten Funktion stets verschwindet. Nach weiterer Umformung folgt die Behauptung, da wir via exakt auf die aufgeführte Gleichung der GRS kommen – was zu zeigen war.[3]

Bemerkung: da streng monoton fällt, gilt , was die obige Schreibweise erklärt.

Diese Grenzrate der Substitution ist invariant gegenüber positiv streng monotoner Transformation Nutzenfunktion.[4]

Das Konzept kann auch für eine größere Zahl von Gütern verwendet werden, wobei dann entsprechend für beliebige Güter :

Die GRS wird üblicherweise als streng monoton fallend angenommen, was (bei einer zweimal differenzierbaren Nutzenfunktion) äquivalent zu der Aussage ist, dass Indifferenzkurven konvex sind und auch unmittelbar mit der Konvexitätsannahme der Präferenzen in der präferenztheoretischen Fundierung korrespondiert. Intuitiv bedeutet dies im Zwei-Güter-Fall, dass man für den Verzicht auf eine marginale Einheit von Gut 2 mit umso mehr Einheiten von Gut 1 kompensiert werden muss, je weniger man von Gut 2 besitzt.

Grenzrate der Faktorsubstitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grenzrate der Faktorsubstitution (auch Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)) findet Verwendung in der mikroökonomischen Produktions- und Kostenanalyse. Grundidee ist hier, dass ein Produzent mehrere Produktionsfaktoren (vereinfachend meist zwei) bei der Herstellung seines Gutes einsetzen kann. Das Faktoreinsatzverhältnis ist jedoch in den meisten Fällen nicht eindeutig vorgegeben, so dass ein Produktionsfaktor durch einen anderen ersetzt werden kann. Die Grenzrate der Faktorsubstitution () gibt dabei an, wie viele zusätzliche Einheiten des einen Faktors (im Beispiel Arbeit, ) benötigt werden, um bei einer Einheit weniger des anderen Faktors (im Beispiel Kapital, ) den gleichen Output zu gewährleisten:

Dabei sei die zusätzlich eingesetzte Menge Arbeit, die weniger eingesetzte Menge Kapital. Da dem Zuwachs beim einen Faktor ein Rückgang beim anderen gegenübersteht, nimmt die Grenzrate der Faktorsubstitution einen negativen Wert an.

Eine Rolle spielt die Grenzrate der Faktorsubstitution unter anderem beim Vergleich unterschiedlicher Produktionsfunktionen.

Intertemporale Grenzrate der Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Analyse mehrperiodiger Probleme in der Makroökonomik wird oft ebenfalls auf eine Form der Grenzrate der Substitution zurückgegriffen, die die betragsmäßige Steigung der Indifferenzkurve einer intertemporalen Nutzenfunktion angibt; diese Indifferenzkurve setzt dabei etwa in einem Zwei-Perioden-Modell den Konsum in der ersten Periode („jung“, mit Erwerbseinkommen) zu dem in der zweiten („alt“, ohne Erwerbseinkommen) in Beziehung.

Sei etwa die intertemporale Nutzenfunktion eines repräsentativen Agenten mit der intertemporalen Budgetbeschränkung (mit dem realen (Welt)zinssatz und , , dem Einkommen in Periode ); die intertemporale Nutzenfunktion ist wiederum die Summe aus den Periodennutzen , wobei allerdings der Nutzen in Periode 2 um einen konstanten Diskontfaktor () modifiziert wird. Zur Vereinfachung sei unter Verweis auf die Standardannahme eines strikt positiven Grenznutzen des Einkommens angenommen, dass die intertemporale Budgetbeschränkung mit Gleichheit erfüllt ist.

Man erhält für die Budgetbeschränkung durch Umstellen

und damit das vereinfachte Nutzenmaximierungsproblem

mit der Optimalitätsbedingung

.

Man bezeichnet dabei den Ausdruck als intertemporale Grenzrate der Substitution. Sie bezieht sich im Gegensatz zur überstehend eingeführten GRS auf ein und dasselbe Gut (Konsum), das jedoch potenziell in zwei Perioden „konsumiert“ werden kann und in diesen grundsätzlich einen unterschiedlichen Nutzen stiftet.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8.
  • Harald Wiese: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u.a. 2010, ISBN 978-3-642-11599-8.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 12; Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 28 f.
  2. ↑Vgl. Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 30.
  3. ↑Hierzu Jehle/Reny 2011, S. 18.
  4. ↑Vgl. Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 36.
Grenzrate der Substitution (GRS). Die GRS ist in Punkt B höher als in Punkt A. Sie beträgt jeweils Δx2/Δx1 (zu Anschauungszwecken ist das eingezeichnete Δx1 in beiden Fällen gleich).
Die GRS von Gut 1 bezüglich Gut 2 im Punkt A(B) entspricht dem Tangens des Winkels α(β). Da tan(α)<tan(β), ist im Beispiel die GRS in A geringer als in B.

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